1.原理

1.1 差商

平均变化率:

1.2 牛顿插值公式

2.Python代码

x=[-1,0,2,3]
y=[-4,-1,0,3]
求f(1.5)的值：

def dqtable(x,data):
    #计算差商表
    for i in range(1, len(x)):
        f = []
        for k in range(len(x) - i):
            k = -(k+1)
            c = (data[i-1][k]-data[i-1][k-1])/(x[k] - x[k - i])
            f.append(c)
        f.reverse()
        data.append(f)
    return data
def getEnd(x_f,x,data):
    end=0
    # 依次通过差商表计算结果
    for i in range(len(data)):
        upper = 1
        for j in range(i):
            upper *= (x_f - x[j])
        end += data[i][0] * upper
    return end

# 存放自变量x的值  data 用于存放函数值以及差商
x=[-1,0,2,3]
data = [[-4,-1,0,3]]
# 用于存放待求值点以及计算结果
x_f = 1.5
fun = 0
data=dqtable(x,data)
print('第一题:')
print("差商表：",data)
fun=getEnd(x_f,x,data)
print('点 {} 在此函数的插值结果为：{}'.format(x_f,fun))

插值多项式绘图：

#画牛顿插值多项式
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#从-1,3中取50个点，计算插值多项式的值并画图
x1=np.linspace(-1, 3,50)
y1=[]
for i in x1:
    y1.append(getEnd(i,x,data))
print(y1[0:10])
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x1,y1,label='newton interpolation polynomial')
plt.legend()
plt.title("Newton")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.show()

结果：